1.2 闭合电路欧姆定律与非纯电阻电路

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题目

📄 题目描述

如图所示，电源电动势 E=12V，内阻 r=1Ω，电阻 R1=1Ω，电阻 R2=6Ω，开关 S 闭合后，电动机恰好正常工作。已知电动机额定电压 U=6V，线圈电阻 R=0.5Ω。求：

1 流过电动机的电流 $I_M$；
2 电动机正常工作时产生的机械功率 $P$；
3 电源的效率 $\eta$。

💡 详细解析

💡 关键点拨 (审题破局)

● 电路结构分析：这是一个混联电路：电源与 $R_1$ 串联，然后连接到一个并联部分。并联部分由电阻 $R_2$ 和电动机 M 组成。
● 隐含条件挖掘：“电动机恰好正常工作”：这句话价值千金！它意味着电动机两端的实际电压等于其额定电压，即并联部分的电压 $U_p = U_M = 6\text{V}$。
● 非纯电阻元件：电动机工作时，消耗的电能一部分转化为 机械能（对外做功），一部分转化为热能（线圈发热）。因此，对电动机不能直接用 $I=U/R$ 计算总电流，必须用 功率守恒 或 节点电流法。

Step 1 各个击破 —— 求解流过电动机的电流

👨‍🏫 老师旁白：

求电动机电流 $I_M$ 之前，我们需要先知道干路的总电流 $I$。你可以把电路看作三部分分压：内阻 $r$、$R_1$、以及并联部分（电压已知为 $U=6\text{V}$）。根据闭合电路欧姆定律，电源电动势 $E$ 等于各部分电压之和。

标准方程

根据闭合电路欧姆定律，干路电流 $I$ 为：

$$I = \frac{E - U}{r + R_1}$$

中间结果

代入数据计算干路电流：

$$I = \frac{12 - 6}{1 + 1} \text{A} = 3\text{A}$$

总电流 $I$ 流到并联节点时分流。$R_2$ 是纯电阻，先算流过它的电流 $I_{R2}$，剩下的就是电动机电流。

$$I_M = I - \frac{U}{R_2}$$

$$I_M = 3 - \frac{6}{6} = 2\text{A}$$

Step 2 核心拆解 —— 求解电动机的机械功率

👨‍🏫 老师旁白：

电动机“吃”进去的电功率（总功率），并没有全部用来“干活”（机械功率）。因为线圈有电阻 $R$，它会发热“浪费”一部分功率。公式关系是：输入总功率 = 机械功率 + 热功率。

🔥 发热功率 $$P_{heat} = I_M^2 R$$ $$P_{heat} = 2^2 \times 0.5 = 2\text{W}$$

⚙️ 机械功率 $$P_{mech} = U I_M - I_M^2 R$$ $$P_{mech} = 6 \times 2 - 2 = 10\text{W}$$

Step 3 全局视角 —— 求解电源的效率

电源效率 $\eta$ = ( 输出给外电路的功率 / 电源产生总功率 ) × 100%

电源输出功率

$$P_{out} = E I - I^2 r$$

$$27\text{W}$$

电源效率

$$\eta = \frac{P_{out}}{E I} \times 100\%$$

$$75\%$$

📚 方法总结

整体-隔离法：先看整体（已知电压 $U$）求干路电流；再隔离节点求支路。
能量守恒法： $P_{total} = P_{mech} + P_{heat}$ 是处理非纯电阻问题的万能钥匙。

⚠️ 易错警示

死穴：切忌对正常工作的电动机直接用 $I=U/R$！欧姆定律此时失效。
混淆效率：电源效率的分母必须是 $EI$（总功率），别写成电动机功率。

🔄 变式思考：如果电动机卡住了？

假设电动机因故障卡死不转，此时它就变成了一个普通的 纯电阻（阻值为 $R=0.5\Omega$）。

后果：电路总电阻变小，干路电流 $I$ 剧增，电动机热功率 $I^2R$ 爆炸式增长，极易烧毁。 👉 点击上方模拟器“卡死电动机”试试看！

电路动态仿真实验室

干路电流

0.00 A

并联电压

0.00 V

电机电流

0.00 A

机械功率

0.0 W

电源电动势 E 12.0 V

0V 12V 24V

🔌 总开关 S

🔧 卡死故障模拟电机转子被卡住

正常运转中

举一反三

变式 1

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