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物理题号：12-1

Part 1

题目描述

题号 276

如图所示（见下方动态演示），圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中 ABC 是位于竖直平面内以 \(O\) 为圆心的一段圆弧，OA 与竖直方向的夹角为 \(\alpha\)。一小球以速度 \(v_0\) 从桌面边缘 P 水平抛出，恰好从 A 点沿圆弧的切线方向进入凹槽。

求解目标：

💡 详细解析

Part 3

隐含条件：“恰好从 A 点沿圆弧的切线方向进入”，翻译成物理语言就是小球在 A 点的速度方向与 **圆弧相切**。
几何推论：圆的切线垂直于半径。因为半径 OA 与竖直方向成 \(\alpha\) 角，所以垂直于半径的切线（即速度 \(v\) 的方向）与水平方向的夹角恰好也为 \(\alpha\)。

思维路径：

想象一下，如果把半径 OA 顺时针转 \(90^{\circ}\)，它就变成了切线方向。那么切线方向偏离水平方向的角度是多少？答案也是 \(\alpha\)！所以，在 A 点，小球的速度方向与水平面的夹角就是 \(\alpha\)。

水平分速度：\(v_x = v_0\)，竖直分速度：\(v_y = gt\)

由几何关系可知，合速度方向与水平方向夹角为 \(\alpha\)，则：
\(\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}\)

由此解得时间 \(t\)： \(t = \frac{v_0 \tan \alpha}{g}\)

注意：

题目求的是直线 PA 与 **竖直方向** 的夹角 \(\beta\)。即 \(\tan \beta = \frac{x}{y}\)。这和我们平时背的位移偏角公式 \(\tan \phi = \frac{y}{x}\) 刚好 **互为倒数**。

根据定义列式： \(\tan \beta = \frac{x}{y} = \frac{v_0 t}{\frac{1}{2} g t^2} = \frac{2 v_0}{gt}\)

我们将 Step 1 中的结论 \(gt = v_0 \tan \alpha\) 代入上式：

\[ \tan \beta = \frac{2 v_0}{v_0 \tan \alpha} = \frac{2}{\tan \alpha} \]

速度偏角 \(\tan \theta\) 是位移偏角 \(\tan \phi\) 的两倍。
\(\tan \theta = 2 \tan \phi\)

角度搞反：题目问的是与 **竖直方向** 的夹角 \(\beta\)。
很多同学习惯性求成与水平方向的夹角，导致算出 \(\frac{\tan \alpha}{2}\)。